Las figuras planas.
El estudio de las figuras planas y sus propiedades geométricas, abarca a los polígonos en general — tanto regulares como irregulares — como así también al círculo, que puede ser considerado un caso especial de polígono.
Dicho estudio comprende:
Las relaciones referentes a las líneas, puntos y ángulos de los polígonos regulares;
Los métodos para el dibujo de los polígonos regulares;
Los métodos para el cálculo de la superficie de los polígonos regulares e irregulares.
Líneas y puntos en los polígonos.
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En los polígonos regulares, se consideran las propiedades geométricas de las siguientes líneas y puntos:
El perímetro — que está formado por la continuidad, o la suma, de todos sus lados.
La diagonal — que es la línea que une dos ángulos no consecutivos.
El centro — que es el punto que se encuentra a una misma distancia de todos sus vértices.
El radio — que es la línea que une el centro con uno de sus vértices; por lo cual un polígono regular tiene tantos radios como ángulos.
El apotema — que es la línea perpendicular que une el centro con cualquiera de sus lados; por lo cual un polígono regular tiene tantos apotemas como lados.
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Líneas y puntos en el círculo. El círculo es la figura plana delimitada por la circunferencia; por lo que a los efectos geométricos equivale a un polígono regular con infinitos lados.
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En el círculo se consideran las propiedades geométricas de las siguientes líneas y puntos:
La circunferencia — que lo delimita, y que es el equivalente al perímetro.
El centro — es el punto del cual equidistan todos los puntos de la circunferencia.
El radio — es la medida de distancia entre el centro y la circunferencia, es el equivalente al radio de los polígonos regulares, y también al apotema.
El diámetro — que es la línea que pasando por el centro une dos puntos opuestos de la circunferencia, y por lo tanto mide el doble del radio, es el equivalente a la diagonal.
La secante — que es la línea que incluye dos puntos de la circunferencia, sin pasar por el centro. El tramo entre esos puntos, es la cuerda.
La tangente — que es la una línea recta que toca solamente un punto de la circunferencia.
El arco — que es el tramo de la circunferencia comprendido entre dos puntos distintos de la misma.
La flecha — que es la una línea perpendicular al punto medio de la secante, que lo une con la circunferencia.
El sector — que es la superficie comprendida entre dos radios y el arco que delimitan.
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Los ángulos en los polígonos. En los polígonos regulares se distinguen dos tipos de ángulos:
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Los ángulos interiores — que son los que se forman en el vértice entre los lados.
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Los ángulos centrales — que son los que se forman con vértice en el centro del polígono, y cuyos lados son los radios que unen ese centro a dos vértices consecutivos. Por lo tanto, un polígono regular tiene tantos ángulos centrales, todos iguales, como lados.
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Por lo tanto, como la medida de la suma de todos los ángulos que pueden formarse alrededor de un punto, es de 360° la medida del ángulo central de un polígono regular es igual a 360 dividido por la cantidad de lados.
Ángulo central del triángulo equilátero: 360° ÷ 3 = 120°.
Ángulo central del cuadrado: 360° ÷ 4 = 90°.
Ángulo central del pentágono: 360° ÷ 5 = 72°.
Ángulo central del hexágono: 360° ÷ 6 = 60°.
Ángulo central del octógono: 360° ÷ 8 = 45°.
Ángulo central del decágono: 360° ÷ 10 = 36°.
Polígonos inscriptos y circunscriptos.
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Se dice que un polígono está inscripto en un círculo, cuando todos los vértices coinciden con puntos de su circunferencia.
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Se dice que un polígono está circunscripto en un círculo, cuando los puntos medios de todos sus lados coinciden con puntos de su circunsferencia.
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Construcción de polígonos mediante el compás. Mediante la aplicación de los conceptos referentes a los ángulos de los polígonos, es posible servirse del instrumento de dibujo que es el compás, para construir gráficamente diversos polígonos.
El compás es un instrumento básicamente aplicable en el trazado de circunferencias, que delimitan una figura plana que es el círculo; el cual puede ser considerado un tipo especial de polígono regular, en el cual todos sus lados están constituidos solamente por un punto, y cuya dimensión está determinada por la longitud del radio, que es equivalente a la abertura del compás.
El método a utilizar para construir polígonos mediante el uso del compás, se basa en determinar los vértices de los lados del polígono, estableciendo en qué puntos de la circunsferencia deben situarse para que el polígono resulte inscripto en ella.
Esa determinación se realiza a partir del conocimiento de los valores de los ángulos centrales del polígono que se desea construir.
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Para trazar un triángulo equilátero inscripto en un círculo, manteniendo el radio (abertura del compás) empleado para trazar el círculo, se determina un punto de la circunferencia (preferiblemente en la vertical inferior de su centro), y centrando en ese punto se traza un arco con extremos en la circunferencia.
Los puntos de intersección (A y B) determinan un lado del triángulo equilátero; por lo cual tomando la medida de ese segmento con el compás y trasladándola sobre la parte superior de la circunferencia, se determinará el vértice (C) de unión de los otros dos lados.
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Para trazar un cuadrado inscripto en un círculo, se traza una recta que pasando por el centro llegue a la circunferencia en sus extremos (diámetro AB).
Con una abertura del compás mayor a la empleada para trazar el círculo, centrando en los puntos extremos del diámetro, se marcan puntos en la circunferencia; lo que determinará dos nuevos puntos (C y D). Uniéndolos mediante una recta, resultará un nuevo diámetro perpendicular al anterior; cuyos puntos de contacto con la circunferencia serán los vértices del cuadrado inscripto.
Como el cuadrado inscripto queda en posición transversal, puede trazarse otro con los lados en posición horizontal y vertical, simplemente trazando las medianas del cuadrado anterior, para determinar los vértices A', B', C' y D', de un nuevo cuadrado inscripto en el mismo círculo.
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Para trazar un hexágono inscripto en un círculo, se fija un punto sobre la circunferencia, y con la misma abertura del compás, se marcan puntos haciendo centro primero en ese punto y luego sucesivamente en los nuevos puntos.
Ello determinará que se marquen sobre la circunferencia los seis puntos que corresponden a los vértices del hexágono.
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Cálculo de la superficie de las figuras planas.
La medida de la superficie de las figuras planas, se designa corrientemente en geometría con el nombre de área. Ella se expresa en unidades de medida de superficie, que se basan en la figura del cuadrado; por lo cual se llaman metros, decímetros o centímetros cuadrados.
El punto de partida para la determinación del método aritmético de cálculo de la medida de la superficie comprendida en las figuras geométricas planas, es el estudio del cuadrado.
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Subdividiendo un cuadrado en varios cuadrados cuyo lado sea una parte del cuadrado original, resulta fácil apreciar que la cantidad de cuadrados menores — que pueden considerarse como unidad de medida — es igual a la multiplicación del número de cuadrados contenidos en dos de los lados del cuadrado originario: 5 × 5 = 25.
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Conviniendo en denominar base al lado horizontal del cuadrado original, y altura el vertical; el procedimiento de cálculo de la superficie del cuadro puede expresarse en la fórmula:
SUPERFICIE DEL CUADRADO = BASE × ALTURA
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En el caso del rectángulo, el mismo procedimiento permite establecer que el procedimiento de cálculo de su superficie es igual al del cuadrado: 5 × 8 = 40.
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SUPERFICIE DEL RECTÁNGULO = BASE × ALTURA
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La fórmula de cálculo del área del triángulo, es una derivación de las anteriores, atendiendo a que la diagonal de rectángulos lo divide en dos triángulos; por lo cual la superficie de todo triángulo es igual a la mitad de la del polígono que resultaría de duplicarlo tomando uno de sus lados como eje de simetría: 5 × 8 = 40 ÷ 2 = 20.
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Si se observa un trapecio, se percibe que cada una de sus diagonales lo convierte en la suma de dos triángulos.
Por lo tanto, la superficie de un trapecio es la suma de las superficies de uno de los dos pares de triángulos que se forman al trazar una diagonal.
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En el trapecio, se denomina base mayor al mayor de sus lados paralelos, y base menor al otro lado paralelo. De tal manera, la base mayor resulta ser la base de uno de los triángulos, y la base menor resulta ser la base del otro; en tanto que la altura del trapecio es la altura de ambos triángulos. Puede obtenerse la suma de ambas superficies en una única operación, sumando ambas bases, dividiendo el resultado entre 2, y multiplicando por la altura: 9 + 6 = 15 ÷ 2 = 7,5 × 5 = 37,5.
Propiedad fundamental de los polígonos regulares. Observando las resultantes del estudio de las líneas de los polígonos regulares se detecta la siguiente propiedad fundamental:
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En todos los polígonos regulares, el trazado de sus radios los divide en tantos triángulos como lados posean; cuyas alturas son iguales al apotema del polígono, y cuyas bases sumadas son iguales al perímetro del polígono.
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En consecuencia, la superficie de un polígono regular será igual a la suma de las superficies de los triángulos que lo forman. Extendiendo la fórmula de cálculo de la superficie del triángulo, se deduce:
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Superficie del círculo. Considerando el círculo como un polígono regular cuyos lados son cada uno de los puntos que componen su circunferencia, ésta resulta ser su perímetro; y el radio es a la vez el apotema respecto de cada uno de esos puntos.
La circunferencia es una línea difícil de medir; pero puede calcularse a partir de la medida del radio, aplicando la propiedad fundamental del círculo.
La propiedad fundamental del círculo, consiste en que existe una relación permanente entre su radio y la medida de su circunferencia, que es un valor constante de 3,1416; el cual se designa con la letra griega PI.
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En consecuencia, aplicando al círculo la regla general para el cálculo de la superficie de un polígono regular, se concluye:
Superficie de los polígonos irregulares.
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Cualquier polígono irregular, puede descomponerse en triángulos, mediante el trazado de sus diagonales; o complementando éstas con perpendiculares desde un vértice a una diagonal.
Por lo tanto, conociendo la medida de las líneas que conformen las bases y alturas de esos triángulos, será posible calcular su superficie; y sumarla para obtener la superficie total del polígono irregular.
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